15 marzo 2014

La quadratura del cerchio e il pi greco

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Come vi abbiamo ricordato con l'account twitter, ieri è stato il pi day e i blogger scientifici italiani l'hanno festeggiato con la 71.ma edizione del Carnevale della Matematica, una raccolta mensile dei post matematici usciti nel mese precedente. Il Carnevale del pi day 2014 l'ho ospitato sul mio blog personale, ma come coda a quel Carnevale ho pensato di proporvi qui alcuni estratti da un articolo realizzato da un gruppo di studenti del liceo scientifico "E. Siciliano" di Bisignano per il giornale di matematica "Euclide".

La "Divina Commedia" è ricca di riferimenti matematici che confermano la profonda cultura scientifica di Dante. Uno dei più famosi passi matematici di Dante si legge nel Par. XXXIII 133-138:
Qual'è 'l geomètra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige, tal era io a quella vista nova: veder voleva come si convenne l'imago al cerchio e come vi s'indova; ma non eran da ciò le proprie penne: se non che la mia mente fu percossa da un fulgore in che sua voglia venne.
In questo passo Dante fa l'esempio del geometra che si affligge per misurare il cerchio attraverso la quadratura... Ma che cos'è esattamente il problema della quadratura del cerchio?
Si può esprimere in due modi almeno, tra loro equivalenti:
  • data una circonferenza, trovare un quadrato o un rettangolo il cui perimetro abbia la stessa lunghezza della circonferenza;
  • dato un cerchio, trovare un quadrato o un rettangolo la cui area abbia la stessa estensione del cerchio.
Dante fa un sottointeso: per motivi soprattutto estetici i Greci privilegiavano le soluzioni "con riga e compasso". Inutilmente e per secoli, dapprima i matematici greci e poi via via tutti gli altri, cercarono di quadrare il cerchio con questi strumenti: oggi sappiamo che ciò è impossibile (lo ha dimostrato Lindemann, ma solo nel 1882!).
C'è però da dire che per "quadrare il cerchio" spesso si intende una visione diversa anche se del tutto equivalente alla precedente e cioè trovare l'esatto valore del rapporto tra la lunghezza di una data circonferenza e il suo raggio, rapporto uguale per tutte le circonferenze. Lo straordinario perfezionamento dei calcolatori e dei software portano i matematici, nella nostra era, a una conoscenza di π aldilà di quanto si potesse immaginare nel Medioevo.
Dopo una presentazione storica del problema, ecco che i ragazzi propongono un algoritmo di calcolo che prende le mosse dal metodo di Archimede per la determinazione del pi greco. Risulta, però, interessante la parte riguardante al calcolo del numero archimedeo con un metodo Montecarlo:
Si "spruzzano" N punti casuali in un quadrato Q di lato l. Nc di questi punti cadono dentro il cerchio C, di raggio r = l / 2 inscritto a Q. Si presuppone che questi N punti si spalmano in modo uniforme in Q e quindi in C. In tal modo dalla proporzione tra le aree di C e Q con i punti contenuti corrispondentemente in C e Q:
si ricava il valore statistico
dove

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