16 dicembre 2013

La catenaria e il ponte di Catanzaro

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Il ponte di Catanzaro (u ponta) è sicuramente una delle opere più importanti presenti in Calabria. Progettato da Riccardo Morandi, venne completato nel 1962, e sono quindi poco più di 50 anni che è in piedi. Per i 50 anni del ponte, Nicola Chiriano, docente di matematica al liceo scientifico "Siciliani" di Catanzaro, insieme con Caterina Oliverio, che sempre al "Siciliani" si occupa di English for Specific Purposes, ha proposto, come prova di CLIL (un progetto ministeriale che porterà nelle scuole superiori una materia di indirizzo insegnata in inglese) un piccolo progetto per verificare quale sia la curva su cui si basa il ponte di Morandi. Le curve che vengono confrontate con l'arcata unica dell'opera catanzarese sono la parabola e la catenaria, quest'ultima in particolare confusa, all'inizio della nostra storia, con la prima. Tutto nasce dalla domanda che si pose Leonardo Da Vinci: quale curva forma una catena appesa agli estremi?
Il primo (1638) che prova a rispondere fu Galileo Galilei, secondo cui, in analogia con il moto di un proiettile, era "quasi" una parabola. Le supposizioni di Galileo si trovano tutte nei Discorsi e dimostrazioni intorno a due nuove scienze, per bocca di Salviati, prima nella seconda giornata, quando è certo della forma parabolica della cura:
Ferminsi ad alto due chiodi in un parete, equidistanti all'orizonte e tra di loro lontani il doppio della larghezza del rettangolo su 'l quale vogliamo notare la semiparabola, e da questi due chiodi penda una catenella sottile, e tanto lunga che la sua sacca si stenda quanta è la lunghezza del prisma: questa catenella si piega in figura parabolica, sì che andando punteggiando sopra 'l muro la strada che vi fa essa catenella, aremo descritta un'intera parabola, la quale con un perpendicolo, che penda dal mezo di quei due chiodi, si dividerà in parti eguali
Poi nella quarta giornata, quando sembra correggere le supposizioni, suggerendo che la curva reale sia una approssimazione della parabola:
Ma più voglio dirvi, recandovi insieme maraviglia e diletto, che la corda così tesa, e poco o molto tirata, si piega in linee, le quali assai si avvicinano alle paraboliche: e la similitudine è tanta, che se voi segnerete in una superficie piana ed eretta all'orizonte una linea parabolica, e tenendola inversa, cioè col vertice in giù e con la base parallela all'orizonte, facendo pendere una catenella sostenuta nelle estremità della base della segnata parabola, vedrete, allentando più o meno la detta catenuzza, incurvarsi e adattarsi alla medesima parabola, e tale adattamento tanto più esser preciso, quanto la segnata parabola sarà men curva, cioè più distesa; sì che nelle parabole descritte con elevazioni sotto a i gr. 45, la catenella camina quasi ad unguem sopra la parabola.
Il primo a dimostrare che la curva non può essere una parabola è il tedesco Joachim Jungius nel 1669. Nel 1671 invece Robert Hooke annunciò di essere riuscito a determinare la forma ottimale di un arco, lasciando la soluzione di questo problema a un anagramma in latino pubblicato nel 1675. Bisogna aspettare il 1691 per avere l'equazione della catenaria, grazie a Leibniz, Huygens e Johann Bernoulli, stimolati da una sfida lanciata dal fratello di quest'ultimo, Jakob: la chiave del successo sta nell'utilizzo del calcolo infinitesimale, di cui Leibniz può essere considerato uno dei padri insieme con Newton.
La sua equazione è data da un coseno iperbolico, ovvero

Video di Robert Osserman via Science Friday
Il successo della catenaria per la costruzione di archi e ponti sta nel fatto che il peso è distribuito in modo uniforme in ogni suo punto. D'altra parte se supponiamo che il peso aumenti proporzionalmente a x lungo la direzione orizzontale, la curva corrispondente coincide con una parabola, e quindi con una scelta architettonica differente: utilizzando i dati lasciati dallo stesso Morandi, Chiriano mostra inequivocabilmente che è la catenaria, e non la parabola, ad essere alla base dell'arco del ponte calabrese.

Leggi anche:
Una non parabola: la catenaria, di Franco Ghione (pdf)
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Di Nicola Chiriano:
Il ponte di Catanzaro: la matematica di un'opera d'arte (pdf)
Morandi Bridge in Catanzaro (pdf)
via MaddMaths!

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